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[摘要] 贝叶斯原理及其推断简介什么是贝叶斯推断贝叶斯推断是一种统计学方法,用来估计统计量的某种性质。它是贝叶斯定理的应用。贝叶斯推断需要大量的计算,因此历史上很长一段时间,无法得到广泛应用。贝叶斯定理要理解贝叶斯推断,必须先了解贝叶斯定理。

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及其推断简介

什么是贝叶斯推断

贝叶斯推断是一种统计学方法,用来估计统计量的某种性质。

它是贝叶斯定理的应用。英国数学家托马斯贝叶斯(thomas bayes)在1793年发表的一篇论文中,首先提出了这个定理。

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上,也就是说,你可以不需要客观证据,先估计一个值,然后根据实际结果不断的修正。正是因为它的主观性太强,曾经遭到许多统计学家的诟病。

贝叶斯推断需要大量的计算,因此历史上很长一段时间,无法得到广泛应用。只有在计算机诞生之后,它才获得真正的重视。人们发现,许多统计量是无法事先进行客观判断的,而互联网时代出现的大型数据集,再加上高速运算能力,为验证这些统计量提供了方便,也为应用贝叶斯推断创造了条件,它的威力正在日益显现。

贝叶斯定理

要理解贝叶斯推断,必须先了解贝叶斯定理。后者实际上就是计算”条件概率“的公式。

所谓”条件概率“,就是指在事件b发生的情况下,事件a发生的概率,用p(a|b)来表示。

根据文氏图,可以很清楚的看到在事件b发生的情况下,事件a发生的概率就是p(ab)除以p(b)。

因此,

所以,

这就是条件概率的计算公式。

全概率公式

由于后面要用到,所以除了条件概率值之外,这里还要推导全概率公式。

假定样本空间s,是两个事件a和a'的和。

上图中,红色部分是事件a,绿色部分是事件a',它们共同构成了样本空间s。

在这种情况下,事件b可以划分为两个部分。

在上一节的推导当中,我们已知

所以,

这就是全概率公式。它的含义是:如果a和a‘构成样本空间的一个划分,那么事件b的概率,就等于a和a'的概率分别乘以b对这两个事件的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式,就得到了条件概率的另一种写法:

贝叶斯推断的含义

对条件概率公式进行变形,可以得到如下形式:

我们把p(a)称为”先验概率“,即在b事件发生之前,我们对a事件概率的一个判断。p(a|b)称为”后验概率“,即在事件b发生之后,我们队a事件的重新评估。p(b|a)/p(b)称为”可能性函数“,这是一个调整因子,使得预估概率更接近真实概率。

所以,条件概率可以理解为下面的式子:

后验概率=先验概率 x 调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个”先验概率“,然后加入实验结果,看这个实验到底是增强还是消弱了”先验概率“,由此得到更接近事实的”后验概率“。

在这里,如果”可能性函数“p(b|a)/p(b)>1,意味着”先验概率“增强,事件a的发生的可能性变大;如果”可能性函数“p(b|a)/p(b)=1,意味着b事件无助于事件a的可能性;如果”可能性函数“p(b|a)/p(b)<1,意味着”先验概率“被消弱,事件a发生的可能性变小。

【例子】水果糖问题

为了加深对贝叶斯推断的理解,我们看下面两个例子。

两个一模一样的碗,一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖,二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗,从中摸出一颗糖,发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大?

我们假定,h1表示一号碗,h2表示二号碗。由于这两个碗是一样的,所以p(h1)=p(h2),也就是说,再取出水果糖之前,这两个碗被选中的概率相同。因此,p(h1)=0.5,我们把这个概率叫做”先验概率“,即没有做实验之前,来自一号碗的概率是0.5。

再假定,e表示水果糖,所以问题就变成了在已知e的情况下,来自一号碗的概率有多少?即求p(h1|e)。我们把这个概率叫做”后验概率“,即在事件e发生之后,对p(h1)的修正。

根据条件概率公式,得到:

已知,p(h1)等于0.5,p(e|h1)为一号碗中取出水果糖的概率,等于0.75,那么求出p(e)就可以得到答案。根据全概率公式:

所以,将数字代入原方程,得到

这表明,来自一号碗的概率是0.6。也就是说,取出水果糖之后,h1事件的可能性得到了增强。

【例子】假阳性问题

第二个例子是一个医学的常见问题,与现实生活关系密切。

已知某种疾病的发病率是0.001,即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病,它的准确率是0.99,即在患者确实得病的情况下,它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%,即在患者没有得病的情况下,它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性,请问他确实得病的可能性有多大?

假定a事件表示得病,那么p(a)为0.001。这就是"先验概率",即没有做试验之前,我们预计的发病率。再假定b事件表示阳性,那么要计算的就是p(a|b)。这就是"后验概率",即做了试验以后,对发病率的估计。

根据条件概率公式,

用全概率公式改写分母:

将数字代入,

我们得到一个惊人的结果,p(a|b)约等于0.019。也就是说,即使检验呈现阳性,病人得病的概率:也只从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的“假阳性”,即阳性结果完全不足以说明病人得病。

为什么会这样?为什么这种检验的准确率高达99%,但是可信度却不到2%?答案是与它的误报率太高和发病率低有关。

本文由超级数学建模编辑整理

本文来源于阮一峰的网络日志

http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_one.html

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